2023-10-31 13:02:04

大家好，我是小典，我来为大家解答以上问题。自然对数e的意义，自然对数e，很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、自然对数的底e是全部自然数(含0)的阶乘的倒数之和。注意：0!=1。

2、即：e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!+...

3、微积分中有一条定理：单调有界数列必有极限。

4、从直观上很容易看出定理的正确性，但严格的证明要用到实数理论。

5、数列｛a[n]｝，a[n]=(1+1/n)^n，当趋于正无穷大时，其极限就是e。

6、我们可以将a[n]和a[n+1]按二项式定理展开，即可知道a[n]<a[n+1]，说明数列｛a[n]｝是单调递增的。

7、另外从二项式定理展开式中，可以看到：

8、a[n]<1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!

9、 <1+1/2^0+1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)

10、 <1+(1-1/2^n)/(1-1/2)=3-1/2^(n-1)<3

11、说明数列｛a[n]｝是有上界的。

12、因此，数列｛a[n]｝的极限存在，并且该极限小于3，不必担心这个极限会跑到哪儿去。

13、从二项式定理展开式中，我们还可以看到：当n趋于无穷大时，(1+1/n)^n的极限就是：1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+...

14、由于二项式定理展开式在这里表示比较烦，就只写一个结果，以供参考：

15、a[n]=(1+1/n)^n

16、=1+1+(1/2!)(1-1/n)+(1/3!)(1-1/n)(1-2/n)+...+(1/n!)(1-1/n)(1-2/n)...(1-(n-1)/n)

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。