黎曼公式 黎曼
生活知识
2024-04-11 08:03:04
导读 大家好，我是小典，我来为大家解答以上问题。黎曼公式，黎曼，很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！1、定理：黎曼函数在区间(0,1)内的...
大家好，我是小典，我来为大家解答以上问题。黎曼公式，黎曼，很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
1、定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。
2、证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。
3、推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。
4、推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。）
5、证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。
本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。
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