三角形面积公式大全表 三角形面积公式大全
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1、海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
2、假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
3、S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
4、而公式里的s：
5、s=frac{a+b+c}{2}
6、由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
7、[编辑]证明
8、与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为
9、cos(C) = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
10、从而有
11、sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
12、因此三角形的面积S为
13、S = frac{1}{2}ab sin(C)
14、= frac{1}{4}sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
15、= sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
16、最后的等号部分可用因式分解予以导出。
17、S表示周长，SQRT表示开方（根号）A B C分别表示三条边。
本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。