圆周角是什么 圆周角

综合精选 2023-10-20 15:55:03
导读 大家好,我是小典,我来为大家解答以上问题。圆周角是什么,圆周角,很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!圆周角定理:一条弧所对圆周
2023-10-20 15:55:03

大家好,我是小典,我来为大家解答以上问题。圆周角是什么,圆周角,很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

圆周角定理:一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半

证明:

已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证:∠BOC=2∠BAC.

证明:

情况1:如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时:

∵OA、OC是半径

解:∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO(等边对等角)

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

图1

情况2:

如图2,,当圆心O在∠BAC的内部时:

连接AO,并延长e799bee5baa6e997aee7ad94e78988e69d8331333366306461AO交⊙O于D

∵OA、OB、OC是半径

解:∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等边对等角)

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

图2

情况3:

如图3,当圆心O在∠BAC的外部时:

连接AO,并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。

解:∵OA、OB、OC、是半径

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO(等边对等角),∠CAD=∠ACO(OA=OC)

∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

从而得证:∠BOC=2∠BAC.

图3

扩展资料:

定理推论

1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;

2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半;

3.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。

4.半圆(直径)所对的圆周角是直角。

5.90°的圆周角所对的弦是直径。

6.等弧对相等的圆周角。(因为相等的弧只有一个圆心角)

注意:在圆中,同一条弦所对的圆周角有无数个。

本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。

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