柯西不等式高中公式证明 柯西不等式高中公式
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1、柯西不等式:
2、二维形式:
3、(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
4、等号成立条件：ad=bc
5、三角形式:
6、√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]
7、等号成立条件：ad=bc
8、注：“√”表示平方根，
9、向量形式:
10、|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）
11、等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
12、一般形式:
13、(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
14、等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
15、上述不等式等同于图片中的不等式。
16、推广形式:
17、(x1＋y1＋…)(x2＋y2＋…)…(xn＋yn…)≥[(Πx)^(1/m)＋(Πy)^(1/m)＋…]^m
18、注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均。
19、不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和）
20、扩展资料：
21、若函数
22、 在区域D及其边界上解析，
23、 为D内一点，以
24、 为圆心做圆周
25、 ，只要
26、 及其内部G均被D包含，则有：
27、其中M是
28、 的最大值 。
29、证明：有柯西积分公式可知
30、所以
31、利用柯西-比内公式还可得到更广义的柯西不等式如下:令A,B为两个m×n矩阵(m>n),则有:det(A*AT)*det(B*BT)≥(det(A*BT))^2
32、柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】。
33、因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
34、柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中非常重要，是高等数学研究内容之一。
35、参考资料：搜狗百科——柯西不等式
本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。